Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme
Bac 2025 : Ce chapitre est au programme de l'épreuve de spécialité !
Dans ce chapitre, tu vas étudier le mouvement d'un projectile lancé dans un champ de pesanteur uniforme. Tu apprendras à établir les équations horaires du mouvement, puis à déterminer la portée et la flèche de la trajectoire.
Objectifs du chapitre
- Savoir modéliser un champ de pesanteur uniforme.
- Établir les équations horaires du mouvement d'un projectile.
- Calculer la portée et la flèche d'une trajectoire parabolique.
Champ de pesanteur uniforme
Un champ de pesanteur uniforme est un champ vectoriel dont la valeur est constante en tout point de l'espace considéré. Près de la surface de la Terre, on peut le modéliser par un vecteur vertical, dirigé vers le bas, de norme g = 9,81 m·s⁻². Dans ce modèle, on néglige les variations de g avec l'altitude et les frottements de l'air. Le poids d'un objet de masse m s'écrit P = m g, où g est le champ de pesanteur.
Équations horaires du mouvement
Pour un projectile lancé avec une vitesse initiale v₀ faisant un angle α avec l'horizontale, on choisit un repère (O, i, j) avec O au point de lancement, i horizontal et j vertical vers le haut. La deuxième loi de Newton donne a = g. Par intégrations successives, on obtient : v_x = v₀ cos α, v_y = -g t + v₀ sin α ; puis x = (v₀ cos α) t, y = -½ g t² + (v₀ sin α) t. Ces équations sont paramétrées par le temps t.
Portée et flèche
La portée est la distance horizontale parcourue lorsque le projectile retombe à la même altitude qu'au départ. On la calcule en résolvant y = 0 (t ≠ 0) : t = (2 v₀ sin α)/g, puis x = (v₀² sin 2α)/g. La flèche est l'altitude maximale atteinte. Elle correspond au sommet de la parabole, où v_y = 0, soit t = (v₀ sin α)/g. En reportant dans y, on obtient y_max = (v₀² sin² α)/(2g).
Formules à retenir
x(t) = (v₀ cos α) t ; y(t) = -½ g t² + (v₀ sin α) tv₀ : vitesse initiale, α : angle de tir, g : intensité de la pesanteur, t : temps.
P = (v₀² sin 2α) / gDistance horizontale parcourue jusqu'au retour à l'altitude initiale.
H = (v₀² sin² α) / (2g)Altitude maximale atteinte par le projectile.
y = - (g / (2 v₀² cos² α)) x² + (tan α) xRelation entre y et x obtenue en éliminant t.
Exercice d'application
Question : Un projectile est lancé avec une vitesse initiale v₀ = 20 m·s⁻¹ et un angle α = 30° par rapport à l'horizontale. On prend g = 10 m·s⁻². Calcule la portée et la flèche.
Voir la solution
Réponse : Portée : P = (v₀² sin 2α)/g = (20² × sin 60°)/10 = (400 × 0,866)/10 = 34,64 m. Flèche : H = (v₀² sin² α)/(2g) = (400 × (0,5)²)/(20) = (400 × 0,25)/20 = 5 m.
